PROFESSORES DO LICEU (3)

4 - Evocação de Leonardo Coimbra

Leonardo Coimbra foi um filósofo e político português das primeiras décadas do séc. XX. Viveu algum tempo na Póvoa e ensinou no Liceu, como está documentado no arquivo desta escola e na imprensa poveira.

Tinha nascido em Borba de Godim, na vila da Lixa, em 30 de Dezembro de 1883 e veio a falecer no Porto a 2 de Janeiro de 1936.

Escreveu alguém que pela profundidade e originalidade do seu pensamento, Leonardo Coimbra é considerado “como dos mais importantes, senão o mais importante entre os nossos pensadores do séc. XX”.

Ouçamos as palavras do prefácio escrito em Balasar, que se destinavam à edição portuguesa, saída em Lisboa, no Porto e no Rio de Janeiro, do importante livro de Platão intitulado Fédon; o pensador concluía assim o seu arrazoado: 

Ler Platão é cantar, sorrir, vogar em Beleza!

Que a nossa mocidade o leia, há-de sentir o peito alteado de orgulho, a fisionomia animada e forte, expressão dum íntimo movimento harmonioso e contente, que é o próprio bulício das asas da Alegria dentro do coração desperto.

Teorias de efebos, cantando o eterno triunfo da Aurora…

Quinta de Balasar, 1-9-18.

 Nestas frases nota-se o pendor poético da escrita do seu autor. Um pensador assim pode ir muito longe, como o aludido Platão, mas não brilhará propriamente como sistematizador.

Leonardo Coimbra.

Este filósofo, que se tinha afastado do catolicismo, regressou depois a ele. Veja-se como uma vez falou da última Ceia de Jesus:

 “Jesus é a Bondade. É, por isso, a dádiva pura e integral. Vai dar-se para dar a sua vida infinita às pobres almas dormentes. Mas antes, deseja ainda com um grande amor passar uma Páscoa com os seus. E, nessa Ceia, que Leonardo da Vinci encheu dum infinito azul dum Céu aberto, é todo enternecimento dadivoso para com as pobres almas, que, por momentos, irão tremer, vacilando às ventanias da Paixão.

Acabada a Ceia, tomando em seu peito, aberto em imensa chaga piedosa, todo o sofrimento humano, vai à herdade de Getsémani dar-se ao mais formidável Vendaval de Dor, que jamais acoitou um coração…”

 

O problema das geometrias não euclidianas no ensino secundário: lógica e pedagogia

No Anuário do Liceu Nacional da Póvoa de Varzim de 1912-13, saído em 1914, vem um texto de Leonardo Coimbra. Tem data de 1914, mas foi apresentado em 1912. Ei-lo: 

“A Geometria é, como se sabe, uma ciência posta, desde Eucli­des, em perfeito rigor demonstrativo. Os seus alicerces são os axio­mas e as definições, e toda a verdade geométrica, vai, de relação em relação, encontrar o seu fundamento nos princípios (definições e axiomas) fundamentais. Entre esses princípios colocou Euclides o célebre postulado das figuras semelhantes, paralela única a uma recta por um ponto exterior, valor de 180º da soma dos ângulos dum triângulo, encontro para o lado da soma menor das rectas que fazem com uma secante dois ângulos interiores ele soma menor que 180º [1] ou outro equivalente. Porque colocou Euclides este princípios fora dos axiomas e das definições?

Fora dos axiomas, porque ele não é axiomático, pois um fundo de indeterminismo reside na ideia de Espaço, suficiente para impe­dir uma integral exaustão da qualidade.

Fora das definições, porque o Espaço perfeitamente homogéneo e simples é implícito em todo o pensamento euclidiano, e tão pro­fundamente implicado que não é possível isolá-lo em definição. Já se deixa ver que é nossa opinião que o postulado de Euclides faça parte das definições iniciais. Assim é, embora, como posteriormente se verá, duma maneira filosoficamente bem diferente da maneira cor­rente entre os matemáticos filósofos.

O postulado de Euclides começou a ferir a sensibilidade dos matemáticos, que são para o Poeta o que a rocha é para o vegetal que a cobre - a ossatura da cósmica harmonia. Várias demonstrações se tentaram, mas o postulado era inabordável às tentativas do raciocínio por absurdo.

Assim devia ser, pois que, como demonstrámos numa das nossas obras[2], a validade do raciocínio por absurdo pertence apenas aos casos de determinismo completo, e o postulado de Euclides de­ve a sua existência ao fundo de indeterminismo do conceito inicial de Espaço.

Da derrota de tais tentativas saiu a ideia de que o desrespeito pelo postulado, não levando a absurdos, era compatível com os ou­tros princípios; daí as geometrias não-euclidianas.

Lobachevsky dirá que por um ponto exterior a urna recta, e no plano que as contém, se pode tirar uma infinidade ele rectas (parale­las), que não encontrem a primeira. Mais uma vez se revela que o problema está no indeterminismo inicial, gerando o indeterminismo das palavras recta e plano. Se tudo tosse bem determinado, elas, sendo as mesmas, só poderiam significar o mesmo para Lobache­vsky e Euclides. Então haveria entre Euclides e Lobachevsky ver­dadeira contradição, e um deles seria em erro. Mas, se as mesmas palavras significam diversamente, é porque os caracteres escolhidos para as respectivas definições, sendo comuns e dando legitimamente a comunidade dos nomes, não são suficientemente diferenciais e específicos; tais nomes são somente nomes genéricos.

A Geometria de Lobachevsky mostra ainda que a soma dos três ângulos dum triângulo é mais pequena que dois rectos e que essa diferença é proporcional à área do triângulo, que não existem rectângulos, etc.....

A geometria esférica mostra que a soma dos três ângulos dum triângulo esférico é superior a dois rectos e a diferença proporcional[3] à área do triângulo.

 

Podemos representar pela figura (ao lado) os três triângulos de Lobachevsky, Eucli­des e esférico, formados por linhas rectas de Lobachevsky (a), de Euclides (b) e li­nhas[4] rectas-esféricas (c), arcos de círculo máximo.

Mais claro se apresenta que tudo se re­sume no significado da palavra recta, em cada caso.

Na geometria euclidiana a recta é a linha determinada por dois pontos; nas outras geometrias, a recta é determinada por dois pontos depois de definida a superfície em que assenta.

A recta esférica depende do raio da esfera, as rectas não eucli­dianas dependem todas dum parâmetro, que sempre vem a ser função dum comprimento, da linha recta euclidiana, em suma. De modo que a geometria euclidiana faz com as outras geometrias um grupo geral, diferenciado em cada caso pelo valor particular do parâmetro. Se tomamos o raio de curvatura para parâmetro, o parâmetro euclidiano é infinito, o que apenas exprime que o espaço euclidiano não tem curvatura. A ausência de curvatura é, pois, um carácter especial, que destaca singularmente o espaço euclidiano entre os ou­tros. Se agora conseguíssemos mostrar que todos os outros espaços postulam o espaço sem curvatura, não ficaria o espaço euclidiano como o primitivo, original e indispensável?

Sendo assim, não poderíamos definir a recta euclidiana duma maneira exaustiva e completa e suprimir o postulado ele Eucli­des?

Podemos estudar a recta de cada espaço, idêntico a si mesmo, sem sair desse espaço e sem considerações estranhas a esse espaço, mas a transportabilidade do conjunto, bem difícil de iludir ou esquecer, carece dum meio sem curvatura, visto que não poderia ter simultaneamente as indefinidas curvaturas dos indefinidos espaços possíveis. E a própria uniformidade do parâmetro não é a recta euclidiana, que a garante? Como sabemos que o parâmetro é constan­te? Com que esperança buscamos tal parâmetro? Não será porque sob a possível curvatura está o determinismo da autêntica recta, de curvatura nula?

Como compreender que figuras iguais de espaços idênticos a si mesmos e entre si (esferas do mesmo raio) não possam coincidir? Se podem, o que é apenas a transportabilidade reaparecendo, eis necessário um espaço de curvatura, em suma, nula que as não de­forme: um espaço, que seja capaz dos corpos.

E não é lícito colarmo-nos num Espaço integral e para nós absoluto, de cuja transportabilidade nada poderemos supor, porque abrangendo o Espaço todas as relações de posição, nele ternos de as por e pensar. O espaço homogéneo e idêntico a si mesmo é, ain­da mais, penetrável pelas determinações dos espaços específicos. Nele a recta é bem determinada por dois pontos, sem precisar de terceiro ponto, pois este é dado no infinito em linguagem de geome­tria geral (género dos diferentes espaços especiais); e em linguagem euclidiana, porque a recta é a linha mais simples, sendo todas as outras definidas por ela e novas características. Deste modo o Espaço geral é um género matemático e como tal[5] rico dum determinismo superior às espécies.

Entre essas espécies existe uma, que é necessário momento dialéctico da construção do género; é a euclidiana. É pois logicamente necessária a primazia da recta euclidiana, embora uma exposição dogmática da geometria geral possa partir duma definição de recta[6], sucessivamente descriminada pelo parâmetro do seu espaço.

Por outro lado, também o espaço euclidiano, que a análise anterior nos revelou garantia de todos os outros, é o espaço exigido pelo movimento dialéctico das ideias científico-filosóficas.

Como conceber a vida, por exemplo, num espaço não euclidiano, onde as figuras se não podem minorar nem majorar? O diferente ta­manho de dois homens exclui a sua semelhança? Não levaria tal noção de espaço a um regresso da sistemática biológica aos seus ingénuos inícios?

Nas realidades geométricas pode a semelhança ser substituída por uma referência a superfícies determinadas por certas relações paramétricas. Ainda isto duplamente implica o espaço euclidiano para garantir o transporte e a fixidez da relação paramétrica.

Na vida, a negação da semelhança, tanto escravizaria a forma à matéria[7] que toda a adaptação seria impossibilitada e a vida morta em imóvel concreção.

Por consequência, e em resumo:

A recta euclidiana é implicada na construção da geometria geral; é igualmente implicada nos conceitos superiores das outras ciências. No ensino secundário ela entrará como definição funda­mental e isso determinará o parâmetro do espaço euclidiano.

A noção de parâmetro dará ideia da possibilidade duma geome­tria geral, sem retirar ao espaço euclidiano a sua insofismável primazia lógica.

Este ensino científico permitirá ao ensino filosófico liceal tirar, em reflexão sobre as ciências, as mais belas conclusões sobre a teo­ria do conhecimento e seu valor, como determinante da qualidade dos sistemas filosóficos.

Esta particular reflexão sobre as geometrias é insubstituível na fecunda tarefa de mostrar a inanidade de todo o empirismo e as dificuldades de todo o racionalismo que não seja dialéctico-sistémico.

Leonardo Coimbra

Póvoa, 1914.

 

O professor do Liceu Antero Marques Simões publicou em 2005 o livro O Deus e os Homens de Leonardo Coimbra.

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[1] Foi sob esta forma que Euclides o apresentou.

[2] O Criacionismo.

[3] Igual para a unidade de área-triângulo esférico tri-rectângulo.

[4] Mais curta distância entre dois pontos.

[5] Tal é a generalização matemática, progressiva e sintética: o número irracional abrange o racional no seu mais vasto e rico conteúdo, tec.

[6] Como mais curta distância entre dois pontos.

[7] Em boa linguagem aristotélica, a forma geométrica seria a matéria da forma biológica, etc…